कथन -1: प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए,(n + | vedclass

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Question

(D) कथन $-2$ के लिए: फर्मेट के लिटिल प्रमेय के अनुसार,किसी भी अभाज्य संख्या $p$ और पूर्णांक $n$ के लिए,$n^p \equiv n \pmod{p}$ होता है। यहाँ $p = 7$ ह

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कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

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(D) कथन $-2$ के लिए: फर्मेट के लिटिल प्रमेय के अनुसार,किसी भी अभाज्य संख्या $p$ और पूर्णांक $n$ के लिए,$n^p \equiv n \pmod{p}$ होता है। यहाँ $p = 7$ है,इसलिए $n^7 \equiv n \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $n^7 - n$,$7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।कथन $-1$ के लिए: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(n + 1)^7$ का विस्तार करने पर: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$ प्राप्त होता है। अतः $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$। यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।ध्यान दें कि कथन $-1$ को $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $(n+1)^7 - (n+1)$ और $n^7 - n$ दोनों $7$ से विभाज्य हैं (कथन $-2$ के अनुसार),इसलिए उनका अंतर भी $7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

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